This book presents recent results on positivity and optimization of polynomials in non-commuting variables. Researchers in non-commutative algebraic geometry, control theory, system engineering, optimization, quantum physics and information science will find the unified notation and mixture of algebraic geometry and mathematical programming useful. Theoretical results are matched with algorithmic considerations; several examples and information on how to use NCSOStools open source package to obtain the results provided. Results are presented on detecting the eigenvalue and trace positivity of polynomials in non-commuting variables using Newton chip method and Newton cyclic chip method, relaxations for constrained and unconstrained optimization problems, semidefinite programming formulations of the relaxations and finite convergence of the hierarchies of these relaxations, and the practical efficiency of algorithms.

An operator C on a Hilbert space H dilates to an operator T on a Hilbert space K if there is an isometry V:H→K such that C=V∗TV. A main result of this paper is, for a positive integer d, the simultaneous dilation, up to a sharp factor ϑ(d), expressed as a ratio of Γ functions for d even, of all d×d symmetric matrices of operator norm at most one to a collection of commuting self-adjoint contraction operators on a Hilbert space.

NCSOStools is a MATLAB toolbox for symbolic computation with polynomials in noncommuting variables; constructing and solving sum of hermitian squares (with commutators) programs for polynomials in noncommuting variables. It can be used in combination with semidefinite programming software, such as SeDuMi or SDPT3 to solve these constructed programs. This paper provides an overview of the theoretical underpinning of these sum of hermitian squares (with commutators) programs, and provides a gentle introduction to the primary features of NCSOStools.

V delu se ukvarjamo s teorijo valuacij na obsegih. V začetku obravnavamo bijektivno korespondenco med praideali valuacijskega kolobarja, nad kolobarji valuacijskega kolobarja, desnimi podpolgrupami valuacijske grupe in konveksnimi podgrupami te valuacijske grupe ter podamo karakterizacijo valuacij ranga 1. Nakažemo povezavo med valuacijami in teorijo urejenih obsegov ter dokažemo Baer-Krullov izrek. V naslednjem poglavju si pogledamo problem razširjanja valuacij, karakteriziramo celostno zaprtje podkolobarja v obsegu in dokažemo konjugacijski izrek ter fundamentalno neenakost. V posebnem primeru, ko na vsako algebraično razširitev obsega obstaja natanko ena razširitev valuacije, imenujemo obseg Henselov. Temu posvetimo naslednje poglavje, kjer med drugim dokažemo Henselovo lemo in konstruiramo henselacijo. Nato vpeljemo psevdo-Cauchyjeva zaporedja, s pomočjo katerih karakteriziramo maksimalne obsege z valuacijo in dokažemo, da so v karakteristiki obsega ostankov 0 vsi maksimalni obsegi z valuacijo izomorfni obsegom formalnih potenčnih vrst $k((\Gamma, c))$. Delo zaključimo s transcendentnimi razširitvami obsega z valuacijo in naredimo klasifikacijo vseh razširitev valuacije obsega $K$ do valuacije na obsegu racionalnih funkcij $K(x)$.

V komutativni realni algebri je osrednje orodje realni spekter komutativnega kolobarja, ki ga definiramo kot množico ekvivalentnih razredov homomorfizmov iz danega kolobarja v linearno urejene komutativne obsege ali celostna polja opremljeno s primerno topologijo. V nekomutativni realni algebri imamo opravka z nekomutativnimi asociativnimi kolobarji, zato se ukvarjamo s homomorfizmi v linearno urejene obsege in cele kolobarje. To nam porodi dve definiciji realnega spektra nekomutativnega kolobarja, ki si ju ogledamo v prvem poglavju. Zraven definicije matričnega realnega spektra je glavni rezultat prvega poglavja še nekomutativna različica Artin-Langovega izreka o homomorfizmu. Matrični realni spekter kolobarja $A$ je množica ekvivalenčnih razredov homomorfizmov iz $A$ v linearno urejene obsege, zato se pojavi vprašanje obstoja vložitve linearno urejenega celega kolobarja v (linearno urejene) obsege. S tem se ukvarjamo v 2. poglavju. V prvi polovici poglavja si ogledamo različice klasičnih, Orejevih vložitvenih izrekov. Pri tem dokažemo, da lahko linearne ureditve razširjamo na Orejeve lokalizacije po regularnih elementih. Druga polovica poglavja je namenjena vložitvenim izrekom, za katere potrebujemo teorijo valuacij in topološke metode. Dokažemo,da lahko vsak linearno urejen kolobar z diskretno usklajeno valuacijo, katere prirejeni stopničast kolobar je Orejev, vložimo v linearno urejen obseg. V drugi polovici doktorske disertacije se ukvarjamo z $\ast$-ureditvami in $\ast$-valuacijami. Za kolobar ali obseg z involucijo definiramo $\ast$-ureditev kot linearno ureditev Jordanove algebre simetričnih elementov, ki je invariantna za $\ast$-konjugiranje. V začetku 3. poglavja se ukvarjamo z $\ast$-urejenimi obsegi, ponovimo nekaj znanih izrekov in izpeljemo nove rezultate, predvsem iz teorije valuacij $\ast$-urejenih obsegov. Dokažemo tudi $\ast$-različico Neumannovega izreka. V drugi polovici poglavja se osredotočimo na cele $\ast$-kolobarje z $\ast$-ureditvami in pripadajočo teorijo valuacij. Podamo tudi več zgledov uporabe izpeljane teorije. Kompleksno grupno algebro lahko vselej opremimo z involucijo, ki element grupe pošlje v njegov inverz. Če ima takšna grupna algebra kakšno $\ast$-ureditev, potem grupo imenujemo $\ast$-uredljiva. Z razredom le-teh se ukvarjamo v zadnjem poglavju. Pokažemo, da je ta razred elementaren in celo kvazivarieteta. Dokažemo tudi, da je vsaka $\ast$-uredljiva grupa linearno uredljiva, ne pa tudi obratno.