ISBN:  Unavailable

Category: Unavailable

Page count: 101

V komutativni realni algebri je osrednje orodje realni spekter komutativnega kolobarja, ki ga definiramo kot množico ekvivalentnih razredov homomorfizmov iz danega kolobarja v linearno urejene komutativne obsege ali celostna polja opremljeno s primerno topologijo. V nekomutativni realni algebri imamo opravka z nekomutativnimi asociativnimi kolobarji, zato se ukvarjamo s homomorfizmi v linearno urejene obsege in cele kolobarje. To nam porodi dve definiciji realnega spektra nekomutativnega kolobarja, ki si ju ogledamo v prvem poglavju. Zraven definicije matričnega realnega spektra je glavni rezultat prvega poglavja še nekomutativna različica Artin-Langovega izreka o homomorfizmu. Matrični realni spekter kolobarja $A$ je množica ekvivalenčnih razredov homomorfizmov iz $A$ v linearno urejene obsege, zato se pojavi vprašanje obstoja vložitve linearno urejenega celega kolobarja v (linearno urejene) obsege. S tem se ukvarjamo v 2. poglavju. V prvi polovici poglavja si ogledamo različice klasičnih, Orejevih vložitvenih izrekov. Pri tem dokažemo, da lahko linearne ureditve razširjamo na Orejeve lokalizacije po regularnih elementih. Druga polovica poglavja je namenjena vložitvenim izrekom, za katere potrebujemo teorijo valuacij in topološke metode. Dokažemo,da lahko vsak linearno urejen kolobar z diskretno usklajeno valuacijo, katere prirejeni stopničast kolobar je Orejev, vložimo v linearno urejen obseg. V drugi polovici doktorske disertacije se ukvarjamo z $\ast$-ureditvami in $\ast$-valuacijami. Za kolobar ali obseg z involucijo definiramo $\ast$-ureditev kot linearno ureditev Jordanove algebre simetričnih elementov, ki je invariantna za $\ast$-konjugiranje. V začetku 3. poglavja se ukvarjamo z $\ast$-urejenimi obsegi, ponovimo nekaj znanih izrekov in izpeljemo nove rezultate, predvsem iz teorije valuacij $\ast$-urejenih obsegov. Dokažemo tudi $\ast$-različico Neumannovega izreka. V drugi polovici poglavja se osredotočimo na cele $\ast$-kolobarje z $\ast$-ureditvami in pripadajočo teorijo valuacij. Podamo tudi več zgledov uporabe izpeljane teorije. Kompleksno grupno algebro lahko vselej opremimo z involucijo, ki element grupe pošlje v njegov inverz. Če ima takšna grupna algebra kakšno $\ast$-ureditev, potem grupo imenujemo $\ast$-uredljiva. Z razredom le-teh se ukvarjamo v zadnjem poglavju. Pokažemo, da je ta razred elementaren in celo kvazivarieteta. Dokažemo tudi, da je vsaka $\ast$-uredljiva grupa linearno uredljiva, ne pa tudi obratno.