The first comprehensive modern introduction to central simple algebra starting from the basics and reaching advanced results.

Assuming little technical background, the author presents the strong analogies between these two concepts starting at an elementary level.

This book presents the connection between Galois groups in algebra and fundamental groups in topology. Starting at an elementary level, it shows how the judicious use of algebraic geometry gives access to the powerful interplay between algebra and topology that underpins much modern research in geometry and number theory.

SOIT X UNE VARIETE PROPRE, LISSE, GEOMETIQUEMENT INTEGRE DEFINIE SUR UN CORPS P-ADIQUE K. DANS CETTE THESE, NOUS ETUDIONS LE NOYAU DE L'APPLICATION DE RECIPROCITE X : SK 1(X) A B 1(X) DE LA THEORIE DES CORPS DE CLASSES POUR X DEFINIE PAR S. SAITO. ADMETTANT QUE POUR L PREMIER LE SYMBOLE COHOMOLOGIQUE K 3(F)/L N H 3(F, 3 L N) EST UN ISOMORPHISME POUR UN CORPS F DE DIMENSION COHOMOLOGIQUE 4 (CAS PARTICULIER D'UNE CONJECTURE ET BLOCH ET KATO QUI EST CONNU POUR L = 2), NOUS MONTRONS QUE X EST INJECTIVE SUR LA TORSION L-PRIMAIRE DE SK 1(X) SI L EST PREMIER A P ET SI X EST UNE SURFACE POUR LAQUELLE LE GROUPE DE COHOMOLOGIE L-ADIQUE H 2(X,Q L) EST TRIVIAL, DONC EN PARTICULIER SI X A POTENTIELLEMENT BONNE REDUCTION. EN DIMENSION SUPERIEURE, NOUS DERIVONS LE MEME ENONCE POUR UNE VARIETE AVEC BONNE REDUCTION D'UN CAS PARTICULIER D'UNE AUTRE CONJECTURE DE KATO. NOUS OBTENONS EGALEMENT DES RESULTATS DE FINITUDE POUR LE SOUS-GROUPE DE TORSION DE SK 1(X). LES DEMONSTRATIONS REPOSENT SUR L'UTILISATION DES COMPLEXES MOTIVIQUES DE VOEVODSKY. DANS UNE DEUXIEME PARTIE, NOUS DEMONTRONS L'INJECTIVITE DE X Z/N POUR N QUELCONQUE SI X EST UNE SURFACE FIBREE EN CONIQUES AU-DESSUS D'UNE COURBE PROPRE LISSE QUELCONQUE. LA METHODE, PLUS ELEMENTAIRE, SE SERT DE LA K-THEORIE DES ALGEBRES DE QUATERNIONS ET LE RESULTAT, INCONDITIONNEL, VAUT SANS HYPOTHESE SUR LA REDUCTION.