Extensions are used in algebra to construct new objects out of a pair of simple structures, or also to decompose complicated objects into related simple parts. It is the aim of this thesis to give a survey of an extension theory for Hopf algebras. Extensions are characterized as ceratin types of exact sequences. Every extension gives rise to a "so-called" abelian matched of Hopf algebras, and isomorphic extensions belong to the same matched pair. The set of isomorphism classes of extensions belonging to the same abelian matched pair carries a Baer-type abelian group structure. It is shown to be isomorphic to the second cohomology group of the matched pair, thus making it possible to represent equivalence classes of extensions by bicross products of abelian matched pairs. The theory is illustrated by a couple of examples.

V delu se ukvarjamo s teorijo valuacij na obsegih. V začetku obravnavamo bijektivno korespondenco med praideali valuacijskega kolobarja, nad kolobarji valuacijskega kolobarja, desnimi podpolgrupami valuacijske grupe in konveksnimi podgrupami te valuacijske grupe ter podamo karakterizacijo valuacij ranga 1. Nakažemo povezavo med valuacijami in teorijo urejenih obsegov ter dokažemo Baer-Krullov izrek. V naslednjem poglavju si pogledamo problem razširjanja valuacij, karakteriziramo celostno zaprtje podkolobarja v obsegu in dokažemo konjugacijski izrek ter fundamentalno neenakost. V posebnem primeru, ko na vsako algebraično razširitev obsega obstaja natanko ena razširitev valuacije, imenujemo obseg Henselov. Temu posvetimo naslednje poglavje, kjer med drugim dokažemo Henselovo lemo in konstruiramo henselacijo. Nato vpeljemo psevdo-Cauchyjeva zaporedja, s pomočjo katerih karakteriziramo maksimalne obsege z valuacijo in dokažemo, da so v karakteristiki obsega ostankov 0 vsi maksimalni obsegi z valuacijo izomorfni obsegom formalnih potenčnih vrst $k((\Gamma, c))$. Delo zaključimo s transcendentnimi razširitvami obsega z valuacijo in naredimo klasifikacijo vseh razširitev valuacije obsega $K$ do valuacije na obsegu racionalnih funkcij $K(x)$.

V disertaciji obravnavamo pojme, ki so povezani z vsotami premešanih produktov $n$-tih potenc. Po prvem razdelku, kjer predstavimo osnove, v drugem poglavju obravnavamo $n$-to produktno stopnjo, to je najmanjše število premešanih produktov $n$-tih potenc, ki se seštejejo v -1. Dokažemo nekomutativno verzijo Hilbertovih identitet, s pomočjo katerih za vsak lih $\ell$ izpeljemo eksplicitno zgornjo mejo za vrednost $n \ell$-te produktne stopnje, izraženo z $n$-to produktno stopnjo. V tretje poglavju vpeljemo pojem $n$-realne valuacije, to je valuacija, ki dopušča dvig ureditve reda $n$ iz residualnega obsega do ureditve reda $n$ na osnovnem obsegu, ki je usklajena z valuacijo. Za signature višjega reda dokažemo nekomutativno verzijo Baer-Krullovega izreka. S pomočjo $n$-realnih valuacij izpeljemo kriterij za določevanje, kdaj je nek element vsota premešanih produktov $n$-tih potenc. S temi orodji podamo odgovor na vprašanje, ki sta ga postavila Marshall in Zhang: obstajajo realna mesta, ki niso porojena iz $(n-)$ureditev. V četrtem poglavju se ukvarjamo z $n$-tim produktnim pitagorejskim številom, to je najmanjše tako število $t$, da je vsaka vsota premešanih produktov $n$-tih potenc že vsota $t$ premešanih produktov $n$-tih potenc. Na začetku predstavimo povezavo med $n$-tim produktnim pitagorejskim številom in $n$-to produktno stopnjo obsega. S pomočjo teorije valuacij dokažemo enakost med $n$-tim produktnim pitagorejskim številom obsega posplošenih Laurentovih vrst in $n$-tim pitagorejskim številom njihovega obsega koeficientov. S tem postanejo nekomutativni obsegi posplošenih Laurentovih vrst neizčrpen vir za primere nekomutativnih obsegov s predpisano vrednostjo produktnega pitagorejskega števila. V zadnjem poglavju obravnavamo centralne razširitve $n$-urejenih obsegov. Dokažemo, da ima vsak $n$-urejeni obseg centralno razširitev, ki je skoraj realno zaprta, to je naravna valuacija je Henselova in ima realno zaprt residualni obseg, njena valuacijska grupa pa je $p$ deljiva za vsa praštevila $p$, ki so tuja z $n$. Še več, dokažemo, da lahko $n$ urejen obseg razširimo na tak način, da razširitev v centru vsebuje obseg realnih števil.