Let $S \subset X$ be a real compact surface, ${\mathcal C}^\infty$ embedded in a complex surface $X$. The problem of existence of a regular Stein neighborhood basis on $S$ in $X$ has so far not been well understood. In a generic position, there were only finitely many complex points on $X$, which can be classified as either elliptic or hyperbolic. By a result of Bishop, the nonexistence of elliptic complex points on $S$ is a necessary condition for the existence of a Strin neighborhood basis of $S$. We show that an embedded surface $S$, without elliptic complex points, and with the extra condition of flatness at hyperbolic complex points, has a regular Stein neighborhood basis in $X$. A connection between complex points and unions of totally real planes is then explored to prove a similar result for certain polynomially convex unions of totally real planes. Using these results, together with the global theory of complex points on embedded real surfaces, we give some new examples of totally real surfaces and Stein domains inside complex elliptic surfaces.

V disertaciji je konstruirana baza Steinovih okolic za poljubno kompaktno analitično množico $A$ s strogo psevdokonveksnim robom $bA$ in Steinovo notranjostjo $A \setminus bA$ v kompleksnem prostoru $X$. To je razširitev znanega Siujevega izreka. V primeru, ko je $A$ kompleksna krivulja, rezultat sovpada z rezultatom, ki sta ga dokazala Drinovec-Drnovšek in Forstnerič. Njun dokaz prilagodimo za višje dimenzije in pri tem uporabimo ideje Demaillyjevega dokaza Siujevega izreka. Z enako metodo je dokazan tudi obstoj baze $q$-kompletnih okolic poljubne kompaktne $q$-kompletne analitične množice z robom. Za vložena strogo psevdokonveksna območja v kompleksnih mnogoterostih poiščemo celo bazo cevastih Steinovih okolic. Z drugačnim pristopom pa konstruiramo bazo Steinove okolice za določene kompaktne podmnožice v Levi-ravnih CR-podmnogoterostih v kompleksnih mnogoterostih. Te rezultate uporabimo pri reševanju problemov aproksimacije s holomorfnimi preslikavami.

Zvezno preslikavo $f: \overline{D} \to \Cc^N$, holomorfno na notranjosti zaprtega enotskega diska $\overline{D} \subset \Cc$, imenujemo analitičen disk. Množico $f(\partial D)$ imenujemo rob analitičnega diska $f$. S pomočjo rešitve Riemann-Hilbertovega robnega problema bomo analitičnemu disku z robom v maksimalno realni $\mathcal{C}^2$ podmnogoterosti $M \subset \Cc^N$ priredili cela števila $\kappa_1,...\kappa_n$, ki jih bomo imenovali parcialne indekse $M$ vzdolž $f[vertical_{\partial D}$. Izkaže se, da lahko v primeru, ko so vsi parcialni indeksi večji ali enaki -1 v okolici $f$ opišemo strukturo množice analitičnih diskov z robom v $M$. To je tudi glavni rezultat tega dela.

Študiramo realne ploskve v kompleksnih ploskvah. Najprej izpeljemo adjunkcijske formule za realne ploskve v kompleksnih ploskvah, ki povejo, koliko kompleksnih točk mora vsebovati realna ploskev, vložena v kompleksni ploskvi. Izkaže se, da je za primerno štetje število teh točk odvisno le od izotopskega tipa vložitve. Podamo izotopsko invarianto vložitve realne ploskve $S$ v kompleksno ploskev $X$, ki nam da potreben in zadosten pogoj za obstoj ploskve $S'$ v izotopskem razredu ploskve $S$, ki ima bazo Steinovih okolic. V nadaljevanju s pomočjo Seiberg-Witten teorije pokažemo, da mora realna ploskev $S$ v Steinovi ploskvi $X$ zadoščati adjunkcijski neenakosti $$S^2 + [verticalc_1(X) \cdot S[vertical \le -\chi(S)$$, kjer je $c_1(X)$ prvi Chernov razred ploskve $X$, $S^2$ samopresečno število ploskve $S$ in $\chi(S)$ Eulerjevo število ploskve $S$. S pomočjo te neenakosti izpeljemo nekaj rezultatov za ogrinjače holomorfnosti realnih ploskev v kompleksnih ploskvah.